円錐や四角錐などのいわゆる「錐体」の体積を求めるとき、同じ底面積で同じ高さの円柱や四角柱の体積の１/３になるのはなぜでしょうか？
この記事では、小中学生向けに水を使ったシンプルな実験をイラストを使って分かりやすく解説をしていきたいと思います。また、分かりやすい証明を用いた方法でも１/３を解説していきたいと思います。
また、本来実際の模型を使い、その模型に水を入れて説明することが一番良いんですが、立体の模型は思いのほか高価な物なので、模型などを用意できないけど子供に分かりやすく説明したい場合はこちらのサイトの画像をお使いください！
立方体と正四角錐を使って説明したいと思います！
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水を使った解説
まずは上の画像のような、同じ底面積、同じ高さの立方体と正四角錐を用意します。
この正四角錐に水を一杯に入れ、正四角錐に水を移し替えていきます。
実際に模型を使って、子供の前でやってみたことがあるのですが、「何杯でいっぱいになると思う？」と質問すると、多くの子供が「２杯！」と答えます。確かに見た目の大きさからすると２杯くらい見えるんですよね。
実際には３杯で正四角錐はちょうどいっぱいになります。
つまり、同じ底面積、同じ高さの立方体と正四角錐では、立方体は正四角錐の３杯分になるということが分かるので、体積が３倍であることが分かります。
この正四角錐の体積は、同じ底面積、同じ高さを持つ立方体の体積の１/３となります。
V＝１/３Sa であることの証明
１辺がacmの立方体に対角線を２本ひくと、立方体の内部に正四角錐が６個作ることができます。この正四角錐は、底面の正方形の１辺がacmで、高さが１/２acmの正四角錐となります。
この正四角錐の底面積をS、体積をVとすると、
正四角錐の体積は１/６a^3となり、V＝１/３Saであることが分かります。
円錐も三角錐も四角錐も考え方は同じ
この記事では正四角錐を使って説明しましたが、実は円錐や三角錐でも考え方はまったく同じです。
違うのは底面の形だけです。三角錐なら底面が三角形、四角錐なら底面が四角形、円錐なら底面が円になっています。しかし、どの立体も先端が1つに集まる「錐体」という仲間です。
そして、同じ底面積・同じ高さを持つ柱体と比べると、体積は必ず3分の1になります。
例えば、
- 三角柱と三角錐
- 四角柱と四角錐
- 円柱と円錐
を比べると、底面積と高さが同じであれば、柱体の体積は錐体の3倍になります。
そのため、どの錐体でも体積は
底面積 × 高さ × 1/3
という同じ公式で求めることができます。
公式がたくさんあるように見えても、実はすべて同じ考え方でつながっています。底面の形が変わっても、「同じ底面積・同じ高さなら体積は3分の1になる」ということを覚えておけば、円錐や角錐の問題にも自信を持って取り組めるでしょう。
まとめ
円錐や三角錐、四角錐などの錐体の体積は、
底面積 × 高さ × 1/3
で求めることができます。
計算方法だけを見ると、「なぜ1/3をかけるの？」と不思議に感じるかもしれません。しかし、実際に同じ底面積・同じ高さの柱体と比べてみると、錐体の体積はちょうど3分の1になることが分かります。
また、三角錐・四角錐・円錐は底面の形が違うだけで、考え方はすべて同じです。どの錐体も「同じ底面積・同じ高さの柱体の3分の1」という共通したルールで体積を求めることができます。
算数や数学では公式を覚えることも大切ですが、それ以上に「なぜそうなるのか」を理解することが重要です。理由が分かると公式を忘れにくくなりますし、初めて見る問題にも対応できるようになります。
ぜひ体積の公式を暗記するだけでなく、「なぜ1/3になるのか」まで説明できるようになってくださいね！
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教員15年→2026/3退職 中学数学13年＋小6算数専科2年
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書籍「算数から数学への壁」（エール出版社）
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