こんにちは!みなさんは、三角形や四角形、五角形などの多角形の角度をたすと何度になるか知っていますか?実は多角形の内角の和は180°×(n-2)という式で求めることができます!

 今回は、多角形の内角の和の求め方が、なぜ180°×(n-2)という式になるのかについて、イラストを使って分かりやすく解説をしていきたいと思います!

数学の先生

これを見ればあっという間に理解できるよ!

 多角形の内角の和

 まず多角形とは角が3つ以上ある平面図形のことを、多角形といいます。そして多角形の内側の角のことを内角といいます。

 まず三角形は、それぞれの角を組み合わせると180°、もしくは平行線の錯角と同位角を使うことで180°であることが証明できます。

 また、四角形や五角形の内角の和は、上の画像のように、角が1つ増えるごとに180°ずつ増えていきます。そう、内角の和には規則性があるのです。

 規則性のある内角の和を式に表すと、(角の数-2)×180で求められることが分かります。これをnを使って表したものが180°×(n-2)という式なのです。

 なぜ180° ×(nー2)で求められるのか?

 n角形の内角の和がなぜ180° ×(nー2)という式で求められるかというと、n角形の中には(nー2)個の三角形を作ることができるからです。

 上の画像のように、4角形は三角形が2つ、5角形は三角形が3つでき、6角形は三角形が4つでき、7角形は三角形が5つできることが分かります。

 三角形の内角の和は180°なので、できる三角形の数×180°ということになります。多角形の角が1つ増えることによって、できる三角形は1つずつ増えていきます。

 つまり、(nー2)個の三角形が作れるn角形の内角の和は、180° ×(nー2)という式になるということです。

 もう一つの考え方

 もう一つの考え方を紹介します。まずは多角形の頂点から対角線をひきます。画像の左のように、四角形では三角形が4つでき、全ての角を合わせると、180°×4=720°となります。また、画像の右側は六角形の中に三角形が6つでき、その角の合計は180°×6=1080°となります。

 中央の円(360°)は内角の和には関係のない角なので、それぞれの合計の角から360°をひくと、内角の和を求めることができます。

 まとめ

 いかがだったでしょうか?多角形の中に何個の三角形ができるか?ということを考えれば、内角の和を導くことができることが理解できたと思います。

 仮に180° ×(nー2)という公式を忘れてしまっても、この仕組みを理解していれば、いつでも自分自身でこの公式を導き出すことができるはずです。

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管理者
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現役で数学を教えている中学校の先生です。中学の数学のプリントやICT関連の情報、ブログでは道徳や学級レクのネタも発信しています。
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