【指数計算クイズ13問】一瞬で解ける？高校数学の面白い問題と詳しい解説

左辺は同じ数が3つあるので、$$3\times 7^x=1029$$3×7x=1029

両辺を3で割ると、$$7^x=343$$7x=343

343は$$7^3$$73

なので、$$\boxed{{\displaystyle x=3}}$$x=3​

512を8の累乗で表します。$$8^1=8$$81=8$$8^2=64$$82=64$$8^3=512$$83=512

したがって、$$\boxed{{\displaystyle x=3}}$$

まず、16を2の累乗で表します。$$16=2^4$$16=24

指数法則$$(a^m{)}^n=a^{mn}$$(am)n=amn

を使うと、$${16}^{\frac{3}{2}}=(2^4{)}^{\frac{3}{2}}=2^{4\times \frac{3}{2}}=2^6=64$$1623​=(24)23​=24×23​=26=64

$$\boxed{{\displaystyle 64}}$$

81は$$3^4$$34

なので、$${81}^{\frac{1}{4}}=(3^4{)}^{\frac{1}{4}}=3$$8141​=(34)41​=3

したがって、$$\boxed{{\displaystyle 3}}$$

x+y=5,xy=6

より、$$x,y=2,3$$x,y=2,3

となります。

式は$$3^{2027}-2^{2027}$$32027−22027

になります。

3の累乗の一の位は

3→9→7→1（4周期）

2の累乗の一の位は

2→4→8→6（4周期）

2027÷4の余りは3なので、$$3^{2027}\text{ の一の位}=7$$32027 の一の位=7$$2^{2027}\text{ の一の位}=8$$22027 の一の位=8

したがって、$$7-8=-1$$7−8=−1

一の位は$$\boxed{{\displaystyle 9}}$$9​

一の位が5の2桁の数は、

十の位 ×（十の位＋1）を計算し、その後ろに25を付ける

だけで求められます。

65の場合、

十の位は6なので、$$6\times 7=42$$6×7=42

その後ろに25を付けると、

$$\boxed{{\displaystyle 4225}}$$

9の累乗の一の位は

9 → 1 → 9 → 1

の2周期です。

99は奇数なので、$$9^{99}$$999

の一の位は$$\boxed{{\displaystyle 9}}$$

左辺は $3^4$34 が9個あるので、$$9\times 3^4$$9×34

9は$$3^2$$32

なので、$$3^2\times 3^4=3^6$$32×34=36

したがって、$$\boxed{{\displaystyle x=6}}$$

左辺は$$4\times 4^6=4^7$$4×46=47

さらに、$$4=(2^2)$$4=(22)

なので、$$4^7=(2^2{)}^7=2^{14}$$47=(22)7=214

したがって、$$\boxed{{\displaystyle x=14}}$$

分子を99でくくると、$$\frac{99(99+1)}{99}$$9999(99+1)​

99を約分して、$$99+1=100$$99+1=100

$$\boxed{{\displaystyle 100}}$$

分子を64でくくると、$$\frac{64(64-1)}{64}$$6464(64−1)​

64を約分して、$$64-1=63$$64−1=63

$$\boxed{{\displaystyle 63}}$$

底を2にそろえます。$$4^{15}=(2^2{)}^{15}=2^{30}$$415=(22)15=230$$8^{10}=(2^3{)}^{10}=2^{30}$$810=(23)10=230

どちらも同じになるので、

$$\boxed{{\displaystyle \text{等しい}}}$$

3の累乗の一の位は

3 → 9 → 7 → 1

の4周期です。

100÷4の余りは0なので、

4番目の$$\boxed{{\displaystyle 1}}$$